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Wie Differential lineare Gleichungen lösen

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Wie Differential lineare Gleichungen lösen</a>

Die Differentialgleichung, in der die unbekannte Funktion und ihre Ableitung linear umfassen, das heißt der erste Grad, eine so genannte lineare Differentialgleichung erster Ordnung.

Unterricht

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Eine allgemeine Ansicht einer ersten Ordnung lineare Differentialgleichung ist:

y? + P (x) * y = f (x),

wobei Y - unbekannte Funktion, und p (x) und f (x) -einige spezifizierten Funktionen. Sie gelten als in dem Bereich kontinuierlich sein, in dem Sie die Gleichung integrieren möchten. Insbesondere können sie Konstanten sein.

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Wenn f (x)? 0, dann wird die Gleichung genannt odnorodnym- wenn nicht - dann jeweils inhomogen.

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Die lineare homogene Gleichung kann durch Trennung der Variablen gelöst werden. Seine allgemeine Form: y? + P (x) * y = 0 ist, also:

dy / dx = -P (x) * y, die die dy / y = -P (x) dx bedeutet.

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Die Integration beiden Seiten der resultierenden Gleichung, erhalten wir:

? (Dy / y) = - & Delta; P (x) dx, das heißt, ln (y) = - & Delta; P (x) dx + ln (C) oder y = C * e ^ (- & Delta; P (x) dx) ).

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Lösung der inhomogenen linearen Gleichung kann seinziehen sich von den Lösungen der entsprechenden homogen, das heißt, die gleiche Gleichung mit der rechten Seite des aufgetropften f (x). Um dies zu tun, ersetzen Sie die Konstante C in der Lösung der homogenen Gleichung unbekannten Funktion? (X). Dann wird die Lösung der inhomogenen Gleichung wird in Form dargestellt werden:

? Y = (x) * e ^ (- & Delta; P (x) dx)).

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Differenziert man diesen Ausdruck, sehen wir, dass die Ableitung von y:

y? = ?? (x) * e ^ (- & Delta; P (x) dx) - (X) * p (x) * e ^ (- & Delta; P (x) dx).

Setzt man die Ausdrücke für y und y? die ursprüngliche Gleichung in und leicht kommen zu dem Ergebnis, erhalten vereinfachend:

d? / dx = f (x) * e ^ (? p (x) dx).

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Nach der Integration beiden Seiten wird es Art:

? (X) =? (F (x) * e ^ (& Delta; P (x) dx)) dx + C1.

Somit wird die unbekannte Funktion y wie folgt ausgedrückt:

y = e ^ (-? p (x) dx) * (C + f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

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Wenn wir die Konstante C auf Null, so wird der Ausdruck für y gleichsetzen kann, eine bestimmte Lösung der gegebenen Gleichung erhalten:

y1 = (e ^ (-? p (x) dx)) * (f (x) * e ^ (p (x) dx) ??) dx).

Dann kann eine Komplettlösung wie folgt ausgedrückt werden:

y = y1 + C * e ^ (-? p (x) dx)).

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Mit anderen Worten, eine komplette Lösung des lineareninhomogene Differentialgleichung erster Ordnung ist, um die Summe ihrer jeweiligen Lösung und die allgemeine Lösung der entsprechenden homogenen linearen Gleichung der ersten Ordnung gleich sind.

Wie Differential lineare Gleichungen lösen Es wurde zuletzt bearbeitet: 21. Juni 2017 durch vashuorm
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