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Wo Differentialgleichungen verwendet werden,

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Viele Studenten studieren an höheren KursenHöhere Mathematik, wahrscheinlich gefragt: Wo in der Praxis angewendet werden Differentialgleichungen (DU)? In der Regel wird diese Frage in den Vorlesungen nicht diskutiert, und die Lehrer gehen sofort zur Entscheidung der DU über, ohne den Schülern die Anwendung von Differentialgleichungen im wirklichen Leben zu erklären. Wir werden versuchen, diese Lücke zu schließen.


Differentialgleichungen
Wir beginnen mit der Definition einer Differentialgleichung. Die Differentialgleichung ist also eine Gleichung, die den Wert der Ableitung der Funktion mit der Funktion selbst, den Werten der unabhängigen Variablen und bestimmten Zahlen (Parametern) verbindet.
Der häufigste Bereich, in demDifferentialgleichungen - eine mathematische Beschreibung der Naturphänomene. Sie werden auch bei der Lösung von Problemen eingesetzt, wo es unmöglich ist, eine direkte Verbindung zwischen bestimmten, einen Prozess beschreibenden Werten herzustellen. Solche Probleme entstehen in Biologie, Physik und Ökonomie.

In der Biologie:

Das erste materielle mathematische Modell,Die Beschreibung der biologischen Gemeinschaft war das Modell Lotka - Volterra. Es beschreibt eine Population, die aus zwei zusammenwirkenden Arten besteht. Die erste von ihnen, genannt Raubtiere, in der Abwesenheit der zweiten stirbt nach dem Gesetz X = -ax (a> 0), Und die Zweitopfer - in Abwesenheit von RaubtierenMultipliziert unbegrenzt in Übereinstimmung mit dem Gesetz von Malthus. Die Interaktion dieser beiden Typen wird wie folgt modelliert. Die Opfer sterben mit einer Geschwindigkeit gleich der Anzahl der Treffen von Raubtieren und Opfern, die in diesem Modell als proportional zur Anzahl der beiden Populationen angenommen werden, dh gleich dxy (d> 0). Also y? = By - dxy. Die Prediger vermehren sich jedoch mit einer Rate, die proportional zur Zahl der gegessenen Opfer ist: x? = -ax + cxy (c> 0). Das Gleichungssystem
X = -ax + cxy, (1)
Y = By - dxy, (2)
Eine solche Raubtierbevölkerung zu beschreiben und heißt das Lotka-Volterra-System (oder Modell).

In der Physik:

Das zweite Newtonsche Gesetz kann in Form einer Differentialgleichung geschrieben werden
M ((d ^ 2) x) / (dt ^ 2) = F (x, t),
Wo m die Masse des Körpers ist, x ist seine Koordinate, F (x, t) ist die Kraft, die auf den Körper mit der Koordinate x zum Zeitpunkt t wirkt. Seine Lösung ist die Trajektorie der Bewegung des Körpers unter der Handlung dieser Kraft.

In der Wirtschaft:

Modell der natürlichen Produktion Wachstum
Wir werden davon ausgehen, dass einige Produkte verkauft werdenZu einem festen Preis P. Sei Q (t) die zum Zeitpunkt t verkaufte Ausgabemenge, so wird in diesem Augenblick das Einkommen gleich PQ (t) erhalten. Ein Teil dieses Einkommens wird für Investitionen in die Produktion von verkauften Produkten ausgegeben, d.h.
I (t) = mPQ (t), (1)

Wo m - Investitionsquote - eine konstante Zahl, mit 0 <т <1.
Wenn wir von der Annahme aus ungesättigten gehenMarkt (oder der vollständige Verkauf von Produkten), als Folge der Erweiterung der Produktion, wird eine Erhöhung der Einkommen erhalten werden, ein Teil davon wird wieder verwendet werden, um die Produktion zu erweitern. Dies führt zu einer Erhöhung der Geschwindigkeit der Freisetzung (Beschleunigung), und die Ausgangsrate ist proportional zu dem Anstieg der Investitionen, d.h.

Q = LI, (2)

Wo ist 1 / l die Beschleunigungsrate. Wenn wir in (2) die Formel (1) einsetzen, erhalten wir

Q = KQ, k = lmP. (3)

DU (3) ist eine Gleichung erster Ordnung mit trennbaren Variablen. Die allgemeine Lösung dieser Gleichung hat die Form

Q = C ^ ekt,

Wo C eine beliebige Konstante ist.

So haben Differentialgleichungen in verschiedenen Bereichen eine ziemlich breite Anwendung.

Wo Differentialgleichungen verwendet werden, Es wurde zuletzt bearbeitet: 5. Juli 2017 durch fiklaaff
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